ご質問の件はメールソフトの設定の仕方に依るもので設定を正しく行うことで解消致します。
ただし、メールソフトは当社のサービスではないので詳細のご案内を行っておらず、参考情報としてご覧ください。
メールの仕組みについて
粗いご説明となりますがメールソフトの受信設定は２種類ございます。
- メールサーバーから受信者のパソコンやスマートフォンのメールソフトにメールを移して読む（POP）。
- メールサーバーにメールを保存したままメールを読む（IMAP）。
1のPOPの設定になっているとメールを見たタイミングでサーバーからメールがなくなるため、後から別のメールソフトで受信しようとしたり、WEBメールを見てもメールがなくなっている状況になります。
対応について
メールソフトをお使いの場合はIMAPになさってください。
もしくは一般的なメールソフトではPOPで受信する際に、コピーをサーバーに残す機能がありますので、コピー機能を使うなどでサーバーにもメールが残るようにしてください。
ご確認のほどよろしくお願いします。